1．已知PA⊥面ABC，PB、PC与平面ABC所成的角分别是π/6,π/4,且∠BAC=π/2，PD⊥BC。球PD与平面AB 如图2所示，空间几何体P-ABC中PA⊥平面ABC，AB⊥B...
因为pc与平面成30',pa与平面成60',所以角apc=90',又AB=BC,所以AC=20,所以ap=10,pc=10根号3,又pb与平面成45',po垂直平面，所以po=5根号3
（1）∵PB⊥平面ABC，∴∠BCP中PC与平面ABC所成的角，∵PB=BC，∴∠BCP=45°，∴PC与平面ABC所成的角为45°．∵PB⊥平面ABC，∴∠BAP中PC与平面ABC所成的角，∵PB=BC=AC，∠ACB=90°，AB=2PB，∴tan∠BAP=22，∴PA与平面ABC所成的角为arctan22．（2）∵PB⊥平面ABC，∴AC⊥PB，∵△ABC为直角三角形，PB=BC=AC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，∴∠APC为直线AP与平面PBC所成的角，设PB=BC=AC=1，则PC=2，AP=3，∴sin∠APC＝ACAP=13=33
1．已知PA⊥面ABC，PB、PC与平面ABC所成的角分别是π/6,π/4,且∠BAC=π/2，PD⊥BC。求：PD与平面ABC所成的角的正切值解：设PA=a
已知PA⊥面ABC，那么：
PB、PC、PD在平面ABC内的射影为AB、AC、AD
所以∠PBA、∠PCA、∠PDA分别是PB、PC、PD与平面ABC所成的角
即有：∠PBA=π/6，∠PCA=π/4
所以在Rt△PAB中，AB=PA/tan(π/6)=根号3*a
Rt△PAC中，AC=PA/tan(π/4)=a
又∠BAC=π/2，则由勾股定理有：
BC=根号(AB²+AC²)=2a
因为PD⊥BC，PD在平面ABC内的射影为AD
所以由三垂线定理有：AD⊥BC
所以：SRt△ABC=(1/2)*AB*AC=(1/2)*AD*BC
即有：AD=AB*AC/BC=根号3*a*a/(2a)=根号3*a/2
则在Rt△PAD中，tan∠PDA=PA/AD=a/(根号3*a/2)=2根号3*a/3
即PD与平面ABC所成的角的正切值为2根号3*a/3
.
2. ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，AB＝根号2倍的a，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且PE／ED＝BF／FA＝1／2。求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值。
解：作EM⊥AD，垂足为M，连结FM
因为PA⊥平面ABCD，所以：PA⊥AD
所以在平面PAD内，EM//PA
所以：EM⊥平面ABCD
那么EF在平面ABCD内的射影为FM
即∠EFM就是EF与平面ABCD所成的角
由EM//PA得：PE/ED=PM/MD
又PE／ED＝BF／FA＝1／2，所以：
PM/MD＝BF／FA＝1／2
则在△ABD中，FM//BD
且FM/BD=PE/PD=1/3
即有：FM=BD/3
在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝根号2*a
则由勾股定理有：BD=根号3*a
所以：FM=根号3*a/3
已知：PA=a，那么：EM=2PA/3=2a/3
所以在Rt△EFM中，EF=根号(FM²+EM²)=根号(a²/3 + 4a²/9）=根号7*a/3
sin∠EFM=EM/EF=(2a/3)÷(根号7*a/3）=2(根号7)/7
即：直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为2(根号7)/7
1、
因为：PA⊥面ABC，PB、PC与平面ABC所成的角分别是π/6,π/4
所以：角PBA、PCA分别等于π/6,π/4，设PA=a
在RT△PBA和RT△PCA中AB=根号3 a
AC=a
因为：∠BAC=π/2 所以BC=2a 在△ABC中 角ABC=π/6
因为:PA⊥面ABC 所以 PA⊥BC 又因为 PD⊥BC
所以BC⊥面PAD 所以BC⊥AD
在Rt△PAD中，AD=根号3/2 a PA=a
tan角PDA=PA/AD=三分之2倍根号3
连接PD
PA⊥面ABC，所以有PA⊥AB PA⊥AC
设PA=a
由勾股定理可得：
AB=√3a，PB=2a
AC=a，PC=√2a
又∵∠BAC=90°
所以有BC=2a
∴有BC=PB=2a
过B作BH⊥PC
对三角形PBC有
PC*BH=BC*PD
BH=√(PB^2-(0.5PC)^2)= (√14a)/2
∴有PD=(√7a)/2
∴AD=(√3a)/2
∴PD与平面ABC所成的角的正切值为PA/AD=(2√3)/3
(2)连接BD
过点E作EM∥PA，过点F作FM∥BD
∵PE／ED＝BF／FA＝1／2 EM∥PA FM∥BD
∴AM/MD=1／2
∴EM=(2/3)PA FM=(2/3)BD
∵PA=AD＝a, AB＝√2 a
∴BD=√3 a
∴FM=((2√3 )a)/3 EM=(2/3)a
PA⊥平面ABCD
∴EM⊥平面ABCD
∴EF=√（EM^2+FM^2）=(4/3)a
∴sin∠EFM=EM/EF=1/2
你是否需要了解？
1.已知PA⊥面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是π/6,π/4,且∠BAC=...
答：解：设PA=a 已知PA⊥面ABC，那么：PB、PC、PD在平面ABC内的射影为AB、AC、AD 所以∠PBA、∠PCA、∠PDA分别是PB、PC、PD与平面ABC所成的角 即有：∠PBA=π/6，∠PCA=π/4 所以在Rt△PAB中，AB=PA/tan(π/6)=根号3*a Rt△PAC中，AC=PA/tan(π/4)=a 又∠BAC=π/2，则由勾股定理...
如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E...
答：建立空间直角坐标系 则A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，从而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1) 设直线AE与PB所成角为θ，则cosθ＝||＝即直线AE与PB所成角的余弦值为 5分（2）如上图，...
如图,已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角...
答：∴ PB⊥AQ (PB垂直平面AMQ内的任意直线)∵ AQ⊥PB AQ⊥AP ∴ AQ⊥平面ABP 所以，AQ⊥AM，AQ⊥AB. △ABQ和△AMQ都是以A为直角顶的直角三角形。在Rt△ABQ中，AQ=AB*tg30°=√3 /3 在Rt△AMQ中，MQ²=AM²+AQ²=1/2 + 1/3 =5/6 MQ=√30 /6 ∠AMQ即...
如图,已知△ABC中,∠ABC=30°,PA⊥平面ABC,PC⊥BC,PB与平面ABC成45°角...
答：∴CD⊥PA.∴CD⊥平面PAB.作DE⊥PB于E,连结CE,则CE⊥PB.∴∠DEC为二面角A-PB-C的平面角.设AC=m,由PC⊥BC,PA⊥平面ABC得∠ACB=90°.又∠ABC=30°,知BC=m.∴CD=BCsin30°=m,AB==2m.由PA⊥平面ABC,知∠PBA为PB与平面ABC所成的角.∴∠PBA=45°.∴PA=BA=2m.在Rt△PAC中,PC=.在...
如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E...
答：解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），∴PB=（3，1，-2），AE=（0，1，1）设直线AE、PB所成的角为...
...已知三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,设AB、PB、PC的中点分别为D、E...
答：4分 （Ⅱ）∵点E、D分别AB、PB中点，则∴ED∥PA，且ED PA，同理FG∥PA，且FG PA，∴ED∥FG，且ED=FG，∴DEFG为平行四边形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA，∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG为矩形.………9分 （Ⅲ）取PA的中点K，连结KE、KF，则多面体PA—DEFG分成三棱锥P—KEF...
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC,求三棱锥P-ABC的...
答：∵PA⊥平面ABC,PB=PC 由射影定理得AB=AC=4 ∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥AC 在Rt△PAC中,得PC=5 则PB=BC=5 取BC中点D,连AD 在等腰△ABC中,底边上的高AD=√39/2 ∴V= 1/3*1/2*5*√39/2*3=5√39/4,3,2倍的根号下3,过P作BC垂线于D,由三垂线定理知,AD垂直BC,求出AD,从而可知...
已知P-ABCD中,PA垂直于平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC
答：1、字母D是多余的吧？∵PA⊥平面ABC，AC∈平面ABC，AB∈平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，AC=4，PA=3，根据勾股定理，PC=√（3^2+4^2）=5,∵PC=BC=PB,PB=5，在△PAB中，根据勾股定理，AB=√（5^2-3^2）=4,AC=AB=4,△ ABC是等腰△，在底面ABC上作AE⊥BC，AE=√（4^2-2.5^2）...
...B的一点,PA⊥平面ABC,点A在PB、PC上的射影分别为点E、F.
答：证明：（1）∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴BC⊥PA，又AB是圆O的直径，∴BC⊥AC 所以BC⊥面PAC，又因AF⊂面PAC，所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，所以AF⊥面PBC，又因PB⊂面PBC，所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE （2）VC-PAB=VP-ABC，计算出三角形ABC的面积及高代入棱...
(1)如图所示,已知PA⊥平面ABC,AB⊥BC AE⊥PB,AF⊥PC,求证PC⊥EF
答：PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，AB于PA交于点A，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AE，AE⊥PB，PB交BC于B，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥PC PC⊥AF，AE⊥PC，AE、AF交于点A，所以PC⊥平面AEF，所以PC⊥EF