面面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理一共有四条，定理如下：

1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。求证：OP⊥β。

2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α。

3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。

4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，a∉α。求证a∥α。

面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这判唤两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。

扩展资料

面面垂直的判定定理如下：

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和含辩β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴掘老凯a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

参考资料：百度百科—面面垂直



---

你是否需要了解？

高中几何,面面垂直判定和性质有哪些
定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理：1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则...

面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么它们之间的任意直线要么垂直于其中一个平面，要么在两个平面的交线上。以下是 首先，要明确什么是面面垂直。在几何学中，两个平面互相垂直意味着这两个平面相交于一条直线，并且这两个平面在任何接触点上都是垂直的。这种垂直关系具有一些重要的性质。一个重要...

怎样证明面面垂直?
4、垂直平面的性质定理：如果一个平面垂直于另一个平面，那么这个平面内的所有直线都垂直于另一个平面。5、面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么其中一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面。6、面面垂直的判定定理：如果一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。...

高中几何,面面垂直判定和性质有哪些
定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理：1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则...

证明面面垂直的判定定理与性质
证明面面垂直的判定定理与性质 判定定理：一平面内如果有两条相交直线，且这两条直线都与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。证明过程：第一部分：理解判定定理的基本前提 考虑一个平面A内存在两条相交直线L和M。假设这两条直线都与平面B垂直。此定理的核心在于，当两个平面之间的垂直关系通过其...

面面垂直的判定定理有几个?
三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与...

面面垂直的判定定理
除此之外，在特定条件下如正方体或长方体的表面也存在多个面的垂直关系等实际情况也是面面垂直判定定理的应用场景。对于实际应用中遇到的情况，需要灵活运用各种定理进行判定。解释如下：在几何学中，面面垂直是一个重要的概念。判定两个平面是否垂直，可以通过平面内直线的性质来进行判断。如果在一个平面内...

面面垂直的性质定理
①：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。②：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的...

什么叫做面面垂直?
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β ∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l...

面面垂直的判定5个条件
2. 法线向量的内积：当两个平面的法线向量互相垂直时，它们的内积为零。这是判定两个平面是否垂直的重要条件。3. 夹角的性质：两个平面之间的夹角如果是90度，则可以判定这两个平面是垂直的。4. 线面垂直的性质：一条直线如果与一个平面内的任一直线垂直，则该直线与该平面垂直。5. 面面垂直的性质...